D-матрица Вигнера

[math]\displaystyle{ D }[/math]-матрица Вигнера представляет собой матрицу неприводимого представления групп SU (2) и SO (3). Комплексное сопряжение [math]\displaystyle{ D }[/math]-матрицы является собственной функцией гамильтониана сферических и симметричных жёстких ротаторов. Матрица была введена в 1927 году Юджином Вигнером.

Определение D-матрицы Вигнера

Пусть [math]\displaystyle{ J_x }[/math], [math]\displaystyle{ J_y }[/math], [math]\displaystyle{ J_z }[/math] образующие алгебры Ли [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(2) }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(3) }[/math]. В квантовой механике эти три оператора являются компонентами векторного оператора известного как угловой момент. Примерами могут служить момент электрона в атоме, электронный спин и момент количества движения жёсткого ротатора. Во всех случаях три оператора удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям

[math]\displaystyle{ [J_x,\;J_y] = i J_z,\quad [J_z,\;J_x] = i J_y,\quad [J_y,\;J_z] = i J_x, }[/math]

где [math]\displaystyle{ i }[/math] это чисто мнимое число и постоянная Планка [math]\displaystyle{ \hbar }[/math] был задана равной единице. Оператор

[math]\displaystyle{ J^2 = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2 }[/math]

является оператором Казимира из [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(2) }[/math] (или [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(3) }[/math], в зависимости от обстоятельств). Он может быть диагонализирован вместе с [math]\displaystyle{ J_z }[/math] (Выбор этого оператора определяется соглашением), который коммутирует с [math]\displaystyle{ J^ 2 }[/math]. То есть, можно показать, что существует полный набор кетов с

[math]\displaystyle{ J^2 |jm\rangle = j(j+1) |jm\rangle,\quad J_z |jm\rangle = m |jm\rangle, }[/math]

где [math]\displaystyle{ j=0,\ 1/2,\ 1,\ 3/2,\ 2,\ \ldots }[/math] и [math]\displaystyle{ m=-j,\ -j+1, \ldots,\ j }[/math]. Для [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(3) }[/math] квантовое число [math]\displaystyle{ j }[/math] является целым.

Оператор поворота можно записать в виде

[math]\displaystyle{ \mathcal{R}(\alpha,\;\beta,\;\gamma) = e^{-i\gamma J_z}e^{-i\beta J_y}e^{-i\alpha J_z}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \alpha,\ \beta,\ \gamma }[/math] — углы Эйлера.

[math]\displaystyle{ D }[/math]-матрица Вигнера представляет собой квадратную матрицу размерности [math]\displaystyle{ 2j+1 }[/math] с общим элементом

[math]\displaystyle{ D^j_{m'm}(\alpha,\;\beta,\;\gamma) \equiv \langle jm' | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| jm \rangle = e^{-im'\gamma } d^j_{m'm}(\beta)e^{-i m\alpha}. }[/math]

Матрица с общим элементом

[math]\displaystyle{ d^j_{m'm}(\beta)= \langle jm' |e^{-i\beta J_y} | jm \rangle }[/math]

известна как малая [math]\displaystyle{ d }[/math]-матрица Вигнера.

Список элементов d-матрицы

для [math]\displaystyle{ j=1/2 }[/math]

• [math]\displaystyle{ d_{1/2,\;1/2}^{1/2}=\cos(\theta/2) }[/math]
• [math]\displaystyle{ d_{1/2,\;-1/2}^{1/2}=-\sin(\theta/2) }[/math]

для [math]\displaystyle{ j=1 }[/math]

• [math]\displaystyle{ d_{1,\;1}^{1} = \frac{1+\cos \theta}{2} }[/math]
• [math]\displaystyle{ d_{1,\;0}^{1} = \frac{-\sin \theta}{\sqrt{2}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ d_{1,\;-1}^{1} = \frac{1-\cos \theta}{2} }[/math]
• [math]\displaystyle{ d_{0,\;0}^{1} = \cos \theta }[/math]

для [math]\displaystyle{ j=3/2 }[/math]

• [math]\displaystyle{ d_{3/2,\;3/2}^{3/2} = \frac{1+\cos \theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} }[/math]
• [math]\displaystyle{ d_{3/2,\;1/2}^{3/2} = -\sqrt{3} \frac{1+\cos \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2} }[/math]
• [math]\displaystyle{ d_{3/2,\;-1/2}^{3/2} = \sqrt{3} \frac{1-\cos \theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} }[/math]
• [math]\displaystyle{ d_{3/2,\;-3/2}^{3/2} = - \frac{1-\cos \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2} }[/math]
• [math]\displaystyle{ d_{1/2,\;1/2}^{3/2} = \frac{3\cos \theta - 1}{2} \cos \frac{\theta}{2} }[/math]
• [math]\displaystyle{ d_{1/2,\;-1/2}^{3/2} = - \frac{3\cos \theta + 1}{2} \sin \frac{\theta}{2} }[/math]

для [math]\displaystyle{ j=2 }[/math]

• [math]\displaystyle{ d_{2,\;2}^{2} = \frac{1}{4}\left(1 +\cos \theta\right)^2 }[/math]
• [math]\displaystyle{ d_{2,\;1}^{2} = -\frac{1}{2}\sin \theta \left(1 + \cos \theta\right) }[/math]
• [math]\displaystyle{ d_{2,\;0}^{2} = \sqrt{\frac{3}{8}}\sin^2 \theta }[/math]
• [math]\displaystyle{ d_{2,\;-1}^{2} = -\frac{1}{2}\sin \theta \left(1 - \cos \theta\right) }[/math]
• [math]\displaystyle{ d_{2,\;-2}^{2} = \frac{1}{4}\left(1 -\cos \theta\right)^2 }[/math]
• [math]\displaystyle{ d_{1,\;1}^{2} = \frac{1}{2}\left(2\cos^2\theta + \cos \theta-1 \right) }[/math]
• [math]\displaystyle{ d_{1,\;0}^{2} = -\sqrt{\frac{3}{8}} \sin 2 \theta }[/math]
• [math]\displaystyle{ d_{1,\;-1}^{2} = \frac{1}{2}\left(- 2\cos^2\theta + \cos \theta +1 \right) }[/math]
• [math]\displaystyle{ d_{0,\;0}^{2} = \frac{1}{2} \left(3 \cos^2 \theta - 1\right) }[/math]

Элементы [math]\displaystyle{ d }[/math]-матрицы Вигнера с обратными нижними индексами находятся следующим соотношением:

[math]\displaystyle{ d_{m',\;m}^j = (-1)^{m-m'}d_{m,\; m'}^j = d_{-m,\;-m'}^j }[/math].

См. также

• Коэффициенты Клебша — Гордана